Bevis for Additionsformler

  • HHX 2. år
  • Matematik
  • 9
  • 3
  • 481
  • Word2003

Bevis for Additionsformler

For at bevise additionsformlerne for sinus benytter vi formlen cos(90°- x) = sinx (se bilag 3)

Uddrag

Sætning 1 . For reelle tal x og y gælder formlerne:

cos(x+y) = cosxּcosy – sinxּsiny
cos(x–y) = cosxּcosy + sinxּsiny
sin(x+y) = sinxּcosy + sinyּcosx
sin(x–y) = sinxּcosy – sinyּcosx

BEVIS: På enhedscirklen (fig. 1) er P og Q retningspunkter for x og y (radiantal).

----

= (cosx – cosy)2 + (sinx – siny)2

= cos2x + cos2y – 2cosxּcosy + sin2x + sin2y – 2sinxּcosy
= (cos2x + sin2x)*** + (cos2y + sin2y) – 2(cosxּcosy + sinxּsiny)
= 2 - 2(cosxּcosy + sinxּsiny)

----

For at bevise additionsformlerne for sinus benytter vi formlen cos(90°- x) = sinx (se bilag 3) og får:

sin(x+y) = cos(90° – (x+y)) = cos(90°– x) – y)

Her benytter vi (III) og får:

sin(x+y) = cos(90°– x )ּcosy + sin(90°– x )ּsiny

og benyttes sin(90°– x) = cosx fås endelig:

---

Hvis vi i (I) ganger overkors får vi, at
sin(u – v) = (sinu – cosu.tanv) cosv = sinuּ cosv – cosuּ sinv (II)
Erstattes i (II) v med –v kan man finde
sin(u + v) = sinu cos(-v) – cosu sin(-v) = sinu cosv + cosu sinv.

Erstattes nu i (II) u med 90°- u, finder vi

sin((90°- u) – v) = sin(90° - u) cosv – cos(90°- u) sinv

cos(u+v) = cosu cosv – sinu sinv (III)... Køb adgang for at læse mere

Bevis for Additionsformler

[1]
Bedømmelser
  • 01-02-2012
    Givet af 2.g'er på STX
    det er en brugbar opgave!